Formula lui Euler.html

Formula lui Euler spune că, pentru orice număr real x,

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!$

unde

$e \,$ este baza logaritmului natural

$i \,$ este unitatea imaginară

$\mathrm{cos} \,$ şi $\mathrm{sin} \,$ sunt funcţiile trigonometrice.

Richard Feynman a numit formula lui Euler "bijuteria noastră" şi "cea mai remarcabilă formulă din matematică".^[1]

Pentru cazul particular x = π avem identitatea:

$e^{i\pi}+1=0 \,$

care combină într-o formulă simplă cele trei numere fundamentale i, π şi e.

modifică Istoric

Formula lui Euler a fost demonstrată pentru prima dată de Roger Cotes în 1714 sub forma

$\ln(\cos(x) + i\sin(x))=ix \$

(unde "ln" înseamnă logaritm natural, adică logaritm în bază e)^[2].

Euler a publicat ecuaţia în forma ei curentă în 1748, bazându-şi demonstraţia pe egalitatea seriilor infinite din ambele părţi ale egalităţii. Niciunul dintre cei doi nu au intuit interpretarea geometrică a formulei: vederea numerelor complexe ca puncte din planul complex a apărut abia după 50 de ani. Euler a considerat firesc să prezinte studenţilor numerele complexe mult mai devreme decât se practică astăzi. În manualul său de algebră elementară, Elemente de Algebră, el introduce aceste numere aproape de la început şi le foloseşte în mod natural de-a lungul întregii lucrări.

modifică Aplicaţii în teoria numerelor complexe

Ilustrare a formulei lui Euler

Formula lui Euler, numită astfel după Leonhard Euler, este o formulă matematică din analiza complexă care arată o relaţie strânsă între funcţiile trigonometrice şi funcţia exponenţială complexă. (Identitatea lui Euler este un caz particular al formulei lui Euler.)

Această formulă poate fi interpretată spunând că funcţia e^ix trasează cercul unitate din planul numerelor complexe când x ia valori reale. Aici, x este unghiul dintre o dreaptă care leagă originea cu un punct pe cercul unitate şi axa reală pozitivă, măsurată în sens trigonometric în radiani. Formula este validă doar dacă sin şi cos îşi primesc argumentele exprimate în radiani, nu în grade.

Demonstraţia originală se bazează pe dezvoltările în serie Taylor ale funcţiilor exponenţială e^z (cu z complex), sin x şi cos x pentru numere reale x. De fapt, aceeaşi demonstraţie arată că formula lui Euler este valabilă şi pentru toate numerele complexe z.

Formula lui Euler poate fi folosită pentru a reprezenta numerele complexe în coordonate polare. Orice număr complex z = x + iy poate fi scris sub forma

$z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,$

$\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,$

unde

$x = \mathrm{Re}\{z\} \,$ partea reală

$y = \mathrm{Im}\{z\} \,$ partea imaginară

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ modulul lui z

şi $\phi \,$ este argumentul lui z— unghiul între axa x şi vectorul z măsurat în sens trigonometric şi în radiani — definit până la 2π.

Acum, luând această formulă derivată, se poate folosi formula lui Euler pentru a defini logaritmul unui număr complex. Pentru a face asta, se foloseşte şi faptul că

$a = e^{\ln (a)}\,$

şi

$e^a e^{b} = e^{a + b}\,$

ambele valabile pentru numerele complexe a şi b.

De aceea se poate scrie:

$z=|z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi}\,$

pentru orice $z\ne 0$ . Scoţând logaritm din ambele părţi, rezultă:

$\ln z= \ln |z| + i \phi.\,$

şi aceasta se poate folosi ca definiţia logaritmului complex.

În fine, legea exponenţială

$(e^a)^k = e^{a k}, \,$

care este valabilă pentru orice întreg k, împreună cu formula lui Euler implică anumite identităţi trigonometrice, precum şi formula lui de Moivre.

modifică Legăturile cu trigonometria

Formula lui Euler furnizează o legătură puternică între analiza matematică şi trigonometrie, aducând o interpretare a funcţiilor sinus şi cosinus ca sume ponderate ale funcţiei exponenţiale:

$\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Cele două ecuaţii de mai sus pot fi derivate adunând şi scăzând formulele lui Euler:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \;$

$e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;$

şi rezolvând pentru cosinus sau sinus.

Aceste formule pot servi chiar ca definiţii ale funcţiilor trigonometrice de argument complex x. De exemplu, dacă x = iy, avem:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)$

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i\cdot \sinh(y).$

Exponenţialele complexe pot simplifica trigonometria, deoarece sunt mai uşor de manipulat decât componentele lor sinusoidale. Una din tehnici este de a converti pur şi simplu sinusoidele în expresii echivalente în termeni de exponenţiale. După manipulări, rezultatul simplificat are valori reale. De exemplu:

$\begin{align} \cos(x)\cdot \cos(y) & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\ & = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\ & = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\ & = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2}. \end{align}$

O altă tehnică este reprezentarea sinusoidelor în termeni de parte reală a unei expresii complexe, şi de a face manipulările pe acea expresie. De exemplu:

$\begin{align} \cos(x\cdot n)+\cos(x\cdot(n-2)) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix n}+e^{ix(n-2)}\quad \} \\ & = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix(n-1)}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\ & = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix(n-1)}\cdot 2\cos(x)\quad \} \\ & = \cos(x\cdot(n-1))\cdot 2\cos(x). \end{align}$

modifică Alte aplicaţii

În ecuaţii diferenţiale, funcţia e^ix se foloseşte adesea pentru a simplifica derivările, chiar dacă rezultatul final este o funcţie reală care implică sinus şi cosinus. Identitatea lui Euler este o consecinţă imediată a formulei lui Euler.

În ingineria electrică dar şi în alte domenii, semnalele ce pot varia periodic în timp sunt adesea descrise ca o combinaţie de sinus şi cosinus, şi acestea se exprimă mai convenabil ca partea reală a funcţiilor exponenţiale cu exponent imaginar, folosind formula lui Euler. De asemenea, analiza fazorială a circuitelor poate include formula lui Euler pentru reprezentarea impedanţei unui capacitor sau a unui inductor.

modifică Demonstraţii

modifică Folosind seriile Taylor

Aceasta este o demonstraţie a formulei lui Euler folosind dezvoltări în serie Taylor şi proprietăţile puterilor lui i:

$\begin{align} i^0 &{}= 1, \quad & i^1 &{}= i, \quad & i^2 &{}= -1, \quad & i^3 &{}= -i, \\ i^4 &={} 1, \quad & i^5 &={} i, \quad & i^6 &{}= -1, \quad & i^7 &{}= -i, \\ \end{align}$

şi aşa mai departe. Funcţiile e^x, cos(x) şi sin(x) (presupunând că x este număr real) pot fi exprimate folosind dezvoltările lor în serie Taylor în jurul lui zero:

$\begin{align} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align}$

Pentru z complex se defineşte fiecare funcţie prin seriile de mai sus, înlocuind x cu z. Aceasta este posibil, deoarece raza de convergenţă a fiecărei serii este infinită. Atunci rezultă că

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos (z) + i\sin (z) \end{align}$

Rearanjarea termenilor se justifică deoarece fiecare serie este absolut convergentă. Luând z = x număr real rezultă identitatea originală aşa cum a descoperit-o Euler.

modifică Folosind calculul diferenţial

Se defineşte $f$ prin

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \$

Aceasta este permisă deoarece ecuaţia

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \$

implică faptul că $e i x$ nu este niciodată zero.

Derivata lui $f$ , conform regulii câtului, este:

$\begin{align} f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0. \end{align}$

Deci, $f \$ trebuie să fie o funcţie constantă. Astfel,

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1.$

Rearanjând, rezultă că

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix} .$

modifică Folosind ecuaţii diferenţiale ordinare

Se defineşte funcţia g(x) prin

$g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} .\$

Considerând că i este constantă, primele două derivate ale lui g(x) sunt

$g'(x) = i e^{ix} \$

$g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \$

deoarece i ² = −1 prin definiţie. De aici se construieşte următoarea ecuaţie diferenţială ordinară liniară de ordinul 2:

$g''(x) = -g(x) \$

$g''(x) + g(x) = 0. \$

Fiind o ecuaţie diferenţială de ordinul 2, există două soluţii liniar independente care o satisfac:

$g_1(x) = \cos(x) \$

$g_2(x) = \sin(x). \$

Atât cos(x) cât şi sin(x) sunt funcţii reale a căror a doua derivată este identică cu aceeaşi funcţie cu semnul minus. Orice combinaţie liniară de soluţii ale unei ecuaţii diferenţiale omogene este de asemenea o soluţie. Atunci, în general, soluţia ecuaţiei diferenţiale este

$g(x)\,$	$= A g_1(x) + B g_2(x) \$
	$= A \cos(x) + B \sin(x) \$

pentru orice constante A şi B. Dar nu toate valorile acestor două constante satisfac condiţiile iniţiale pentru g(x):

$g(0) = e^{i0} = 1 \$

$g'(0) = i e^{i0} = i \$ .

Totuşi aceste condiţii iniţiale (aplicate soluţiei generale) sunt

$g(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \$

$g'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \$

deci rezultă

$g(0) = A = 1 \$

$g'(0) = B = i \$

şi în cele din urmă,

$g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \$

modifică Note

^ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I, p. 22-10, Addison-Wesley. ISBN 0-201-02010-6.
^ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.